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高等工程數學
“十三五”國家重點出版物出版規劃項目 名校名家基礎學科系列
作者:鄭洲順 張鴻雁 王國富
ISBN:978-7-111-61846-1
所屬叢書:“十三五”國家重點出版物出版規劃項目 名校名家基礎學科系列
本書編寫形式上采用通過實際工程案例出發的方式,引申出數學模型以及計算方法,然後在着重講解理論結果,以問題導向來編寫本書。全書共13章,通過城市供水量的預測模型、湘江流量估計模型、養老保險問題、小行星軌道方程計算問題、回歸問題、産品次品率的推斷、屈服點與含碳量和含錳量的關系、燈絲配料對燈絲壽命的影響等問題,分别介紹了數學建模與誤差分析、插值與拟合算法、數值積分法、非線性方程求根的數值解法、線性方程組的數值解法、線性方程組求解的疊代法、常微分方程數值解法簡介、估計與檢驗、回歸分析、方差分析與正交試驗設計、線性規劃模型與理論簡介、線性規劃的單純形算法、線性規劃的對偶問題、*優化問題數學建模專題等内容。使得學生能夠通過解決實際問題來掌握理論内容。本書可供工科(特别是工程類)碩士研究生作為教材或學習參考書,也可供相關專業的教師和工程技術人員參考。
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  • 圖書詳情
ISBN:978-7-111-61846-1
裝訂:平裝
編輯:湯嘉
開本:16開
出版日期: 2019-02-19
字數:468 千字
定價:49.8
圖書簡介
本書編寫形式上采用通過實際工程案例出發的方式,引申出數學模型以及計算方法,然後在着重講解理論結果,以問題導向來編寫本書。全書共13章,通過城市供水量的預測模型、湘江流量估計模型、養老保險問題、小行星軌道方程計算問題、回歸問題、産品次品率的推斷、屈服點與含碳量和含錳量的關系、燈絲配料對燈絲壽命的影響等問題,分别介紹了數學建模與誤差分析、插值與拟合算法、數值積分法、非線性方程求根的數值解法、線性方程組的數值解法、線性方程組求解的疊代法、常微分方程數值解法簡介、估計與檢驗、回歸分析、方差分析與正交試驗設計、線性規劃模型與理論簡介、線性規劃的單純形算法、線性規劃的對偶問題、*優化問題數學建模專題等内容。使得學生能夠通過解決實際問題來掌握理論内容。本書可供工科(特别是工程類)碩士研究生作為教材或學習參考書,也可供相關專業的教師和工程技術人員參考。
章節目錄
目 錄
前 言
第 1 章 數學建模與誤差分析 1
1.1 數學與科學計算 1
1.2 數學建模及其重要意義 1
1.2.1 數學建模的過程 1
1.2.2 數學建模的一般步驟 2
1.2.3 數學建模的重要意義 3
1.3 數值方法與算法評價 4
1.4 誤差的種類及其來源 6
1.4.1 模型誤差 6
1.4.2 觀測誤差 6
1.4.3 截斷誤差 6
1.4.4 舍入誤差 7
1.5 絕對誤差和相對誤差 7
1.5.1 絕對誤差和絕對誤差限 7
1.5.2 相對誤差和相對誤差限 8
1.6 誤差的傳播與估計 9
1.6.1 誤差傳播估計的一般公式 9
1.6.2 誤差在算術運算中的傳播 11
1.6.3 算法誤差實例分析 12
習題 1 16
第 2 章 城市供水量的預測模型———
插值與拟合算法 18
2.1 城市供水量的預測問題 18
2.2 求未知函數近似表達式的插值法 18
2.2.1 求函數近似表達式的必要性 18
2.2.2 插值多項式的存在唯一性 19
2.3 求插值多項式的拉格朗日( Lagrange) 法 20
2.3.1 拉格朗日插值基函數 20
2.3.2 拉格朗日插值多項式 20
2.3.3 插值餘項 22
2.3.4 插值誤差的事後估計法 23
2.4 求插值多項式的牛頓法 24
2.4.1 向前差分與牛頓向前插值公式 24
2.4.2 向後差分與牛頓向後插值公式 26
2.4.3 差商與牛頓基本插值多項式 27
2.5 求插值多項式的改進算法 29
2.5.1 分段低次插值 29
2.5.2 三次樣條插值 31
2.6 求函數近似表達式的拟合法 36
2.6.1 曲線拟合的最小二乘法 37
2.6.2 加權最小二乘法 44
2.6.3 利用正交函數作最小二乘法拟合 45
2.7 城市供水量預測的簡單方法 47
2.7.1 供水量增長率估計與數值微分 47
2.7.2 利用插值多項式求導數 48
2.7.3 利用三次樣條插值函數求導 49
2.7.4 城市供水量預測 50
習題 2 54
第 3 章 湘江流量計算問題———數值積分法 56
3.1 數值積分公式的構造及代數精度 56
3.1.1 數值求積的必要性 56
3.1.2 構造數值求積公式的基本方法 56
3.1.3 求積公式的餘項 57
3.1.4 求積公式的代數精度 57
3.2 數值求積的牛頓 - 柯特斯方法 58
3.2.1 牛頓 - 柯特斯公式 59
3.2.2 複合牛頓 - 柯特斯公式 60
3.2.3 誤差的事後估計與步長的自動選擇 63
3.2.4 複合梯形法的遞推算式 64
3.3 龍貝格算法 66
3.3.1 龍貝格算法的基本原理 66
3.3.2 龍貝格算法計算公式的簡化 68
3.4 高斯型求積公式與測量
位置的優化選取 69
3.4.1 高斯型求積公式的定義 69
3.4.2 高斯型求積公式的構造與應用 70
3.5 湘江流量的估計 72
習題 3 72
第 4 章 養老保險問題———非線性方程求根的數值解法 74
4.1 養老保險問題 74
4.1.1 問題的引入 74
4.1.2 模型分析 74
4.1.3 模型假設 74
4.1.4 模型建立 74
4.1.5 模型求解 75
4.2 非線性方程求根的數值方法 75
4.2.1 根的搜索相關定義 75
4.2.2 逐步搜索法 75
4.2.3 二分法 76
4.2.4 疊代法 77
4.2.5 牛頓公式 82
4.2.6 牛頓法的幾何意義 82
4.2.7 牛頓法的局部收斂性 83
4.2.8 牛頓法應用舉例 84
4.2.9 牛頓下山法 85
4.2.10 弦截法與"物線法 86
4.2.11 多項式求值的秦九韶算法 88
4.2.12 代數方程的牛頓法 89
4.2.13 牛頓法對重根的處理 89
4.3 養老保險模型的求解 90
習題 4 91
第 5 章 小行星軌道方程計算問題———
線性方程組的數值解法 92
5.1 小行星軌道方程問題 92
5.1.1 問題的引入 92
5.1.2 模型的分析 92
5.1.3 模型的假設 93
5.1.4 模型的建立 93
5.2 線性方程組數值解法概述 93
5.3 直接解法 94
5.3.1 高斯消元法 94
5.3.2 矩陣的三角分解 97
5.3.3 高斯消元法的計算量 99
5.3.4 高斯主元素消元法 99
5.3.5 完全主元素消元法 100
5.3.6 列主元消元法 101
5.3.7 高斯 - 約當消元法 103
5.3.8 高斯消元法的變形 105
5.3.9 平方根法 107
5.3.10 追趕法 109
5.4 疊代法 112
5.4.1 雅可比疊代法 113
5.4.2 高斯 - 賽德爾疊代法 114
5.4.3 疊代法的收斂性 115
5.4.4 超松弛疊代法 121
5.5 誤差分析 124
5.5.1 矩陣的條件數及誤差分析 124
5.5.2 疊代改善法 128
5.5.3 舍入誤差分析 130
5.6 小行星軌道方程問題的模型求解 130
習題 5 131
第 6 章 常微分方程數值解法 133
6.1 實際問題的微分方程模型 133
6.2 簡單的數值方法與基本概念 134
6.2.1 常微分方程初值問題 134
6.2.2 歐拉法及改進的歐拉法 135
6.2.3 截斷誤差與算法精度的階 137
6.3 線性多步法 140
6.3.1 數值積分法 140
6.3.2 待定系數法 142
6.4 非線性單步法———龍格 - 庫塔法 144
6.4.1 泰勒展開法 144
6.4.2 龍格 - 庫塔法 145
6.5  一階方程組和高階方程的初值問題 150
6.6  常微分方程邊值問題的數值解法 151
6.6.1 試射法 151
6.6.2 差分法 153
習題 6 156
第 7 章 産品的次品率的推斷———估計與檢驗 157
7.1 問題的提出 157
7.2 基本概念和重要結論 157
7.3 估計方法 161
7.3.1 點估計 161
7.3.2 區間估計 163高等工程數學
7.4 假設檢驗 165
7.4.1 參數假設檢驗 165
7.4.2 分布假設檢驗 169
習題 7 171
第 8 章 屈服點與含碳量和含錳量的關系
———回歸分析 174
8.1 問題的提出 174
8.2 一元線性回歸 174
8.2.1 回歸分析的基本思想和一般
步驟 174
8.2.2 模型和參數估計 176
8.2.3 模型檢驗 178
8.2.4 預測 179
8.2.5 控制 180
8.3 多元線性回歸 181
8.3.1 模型和參數估計 181
8.3.2 模型檢驗 184
8.3.3 預測 185
8.3.4 變量選擇及多元共線性問題 186
8.3.5 線性回歸的推廣 191
習題 8 193
第 9 章 燈絲配料對燈泡壽命的影響———
方差分析與正交試驗設計 195
9.1 問題的提出 195
9.2 一元方差分析 195
9.3 二元方差分析 197
9.3.1 無重複試驗的方差分析 197
9.3.2 重複試驗的方差分析 200
9.4 正交試驗設計 204
9.4.1 方差分析法的推廣和正交試驗法的
提出 204
9.4.2 正交表及直觀分析法 205
9.4.3 正交試驗法的方差分析法 208
9.4.4 考慮交互作用的正交設計 210
習題 9 212
第 10 章 線性規劃模型與理論 215
10.1 線性規劃的數學模型 215
10.2 線性規劃的标準形式 218
10.2.1 标準形式 218
10.2.2 化線性規劃問題為标準
形式 219
10.3 兩個變量線性規劃問題的
圖解法 220
10.4 線性規劃的基本概念和
基本定理 222
10.4.1 可行解、 可行域 222
10.4.2 最優解、 無界解 223
10.4.3 基本可行解 223
10.4.4 凸集 226
10.5 線性規劃的基本定理 228
習題 10 229
第 11 章 線性規劃的單純形算法 232
11.1 單純形法原理 232
11.1.1 樞軸運算 232
11.1.2 典範型線性方程組 233
11.1.3 單純形法的一般步驟 233
11.1.4 判别數、 最優判别定理 235
11.2 表格單純形方法 237
11.3 人工變量及初始基本可行解 246
11.3.1 人工變量大 M 單純形法 247
11.3.2 人工變量兩階段單純形法 248
習題 11 251
第 12 章 線性規劃的對偶問題 253
12.1 對稱的對偶規劃 253
12.1.1 對偶問題的提出 253
12.1.2 ( LP) 、 ( LD) 的對偶
定理 256
12.2 非對稱及混合型對偶規劃 260
12.2.1 ( SLP) 的對偶規劃 260
12.2.2 ( SLP) 、( SLD) 的對偶定理 261
12.2.3 混合型對偶線性規劃 262
12.3 對偶單純形法 264
12.3.1 什麼是對偶單純形法 264
12.3.2 對偶單純形法的疊代原理 264
12.3.3 人工約束方法 267
12.4 對偶問題的經濟意義———影子
價格 272
習題 12 275
第 13 章 最優化問題數學建模
專題 277
13.1 引言 277
13.2 最優化問題數學建模 278
13.3 最優化問題的基本概念 280
13.4 二維問題的圖解法 282目錄
13.5 二次函數 284
13.6 梯度與 Hesse 矩陣 286
13.6.1 多元函數的可微性和梯度 286
13.6.2 梯度的性質 287
13.6.3 Hesse 矩陣 289
13.7 多元函數的泰勒展開公式 291
13.8 極小點及其判定條件 291
13.8.1 極小點的概念 291
13.8.2 局部極小點的判定條件 292
13.9 下降疊代算法及其收斂性 292
13.9.1 下降疊代算法 292
13.9.2 疊代算法中直線搜索及其
性質 294
13.9.3 收斂速度 294
13.9.4 非線性最優化算法簡介 295
習題 13 295
參考文獻 297
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